Zapisz w postaci sumy algebraicznej
Aby przekształcić wyrażenie w sumę algebraiczną, często korzystamy z wzorów skróconego mnożenia. Te wzory ułatwiają uproszczenie skomplikowanych wyrażeń, takich jak kwadraty i sześciany sum oraz różnic. Na przykład, dla \((x+3)^2\) stosujemy wzór na kwadrat sumy, co prowadzi do wyniku: \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\). Podobnie można rozwinąć inne wyrażenia.
W algebrze suma algebraiczna ułatwia operacje takie jak dodawanie, odejmowanie i porównywanie wyrażeń. Kluczowym elementem jest redukcja wyrazów podobnych poprzez sprowadzanie ich do wspólnego mianownika lub eliminację nawiasów przez rozkład na czynniki.
Zrozumienie struktury wielomianów odgrywa istotną rolę w matematyce. Pozwala nie tylko na sprawniejsze wykonywanie operacji na równaniach, ale również na ich efektywne rozwiązywanie. Dlatego przekształcanie równań w sumę algebraiczną stanowi ważny aspekt nauki algebry.
Oto przykłady rozwinięcia innych wyrażeń:
- (a-2)^2 = a^2 – 4a + 4,
- (2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.
Takie metody pomagają zarówno uczniom, jak i profesjonalistom lepiej zrozumieć oraz manipulować równaniami w kontekście matematyki i nauk technicznych.
Zapisz w postaci sumy algebraicznej: (x+3)²
Aby przekształcić wyrażenie \((x+3)²\) na sumę algebraiczną, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \((a+b)² = a² + 2ab + b²\). W tym przypadku mamy \(a = x\) i \(b = 3\). Podstawiając te wartości, otrzymujemy równanie: \((x+3)² = x² + 2 \cdot x \cdot 3 + 3²\). Po uproszczeniu wychodzi: \(x² + 6x + 9\).
Ta metoda pokazuje, jak skutecznie przekształcać wyrażenia algebraiczne dzięki wzorom skróconego mnożenia. Jest to często wykorzystywana technika w matematyce, ułatwiająca dalsze obliczenia i analizę algebry.
Zapisz w postaci sumy algebraicznej: (a-2)²
Aby przekształcić wyrażenie \((a-2)²\) w sumę algebraiczną, korzystamy z dobrze znanego wzoru skróconego mnożenia: \((a-b)² = a² – 2ab + b²\). W naszym przypadku mamy \(a = a\) oraz \(b = 2\). Podstawiamy te wartości do wzoru:
\[ (a-2)² = a² – 2 \times a \times 2 + 2² \]
Obliczamy wynik:
\[ a² – 4a + 4 \]
W ten sposób wyrażenie jako suma algebraiczna przyjmuje postać: \(a² – 4a + 4\). To doskonały przykład na to, jak dzięki zasadom algebry i zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia można przekształcać wyrażenia.
Zapisz w postaci sumy algebraicznej: (2x+5)²
Aby wyrazić (2x+5)² jako sumę algebraiczną, skorzystamy ze wzoru na kwadrat sumy: (a+b)² = a² + 2ab + b². W naszym przypadku mamy a = 2x oraz b = 5. Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:
(2x+5)² = (2x)² + 2*(2x)*5 + 5².
Przechodząc do obliczeń:
- kwadrat (2x) daje wynik 4x²,
- iloczyn 2*(2x)*5 to 20x,
- kwadrat liczby 5 wynosi 25.
W rezultacie, przekształcone wyrażenie przyjmuje postać:
4x² + 20x + 25.
Takie przekształcenia upraszczają pracę z wyrażeniami algebraicznymi i są istotne w matematyce.
Wyrażenia do przekształcenia: (2x+y)^3, (x-2y)^3
Aby przekształcić wyrażenia \( (2x+y)^3 \) oraz \( (x-2y)^3 \) w sumy algebraiczne, korzystamy z wzorów skróconego mnożenia. Dla pierwszego wyrażenia stosujemy wzór:
\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. \]
Podstawiając wartości, otrzymujemy:
- \( (2x+y)^3 = 8x^3 \),
- \( 12x^2y \),
- \( 6xy^2 \),
- \( y^3. \)
Dla drugiego wyrażenia używamy wzoru różnicy:
\[ (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3. \]
Po obliczeniach mamy:
- \( (x-2y)^3 = x^3 \),
- \( -6x^2y \),
- \( 12xy^2 \),
- \( -8y^3. \)
Zapisanie tych wyrażeń jako sum algebraicznych jest istotne podczas przekształcania przy użyciu matematycznych metod i skrótowych wzorów mnożenia.
Wyrażenia do przekształcenia: (3x+2y)^3, (2x-3y)^3
Aby przekształcić wyrażenia \((3x+2y)^3\) oraz \((2x-3y)^3\) w postać sum algebraicznych, korzystamy z wzorów skróconego mnożenia.
W przypadku pierwszego wyrażenia stosujemy wzór: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), przy czym \(a=3x\) i \(b=2y\). Po rozwinięciu uzyskujemy:
\[ (3x+2y)^3 = 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3. \]
Dla drugiego wyrażenia używamy wzoru: \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\), gdzie \(a=2x\) i \(b=3y\). Rozwijając to, otrzymujemy:
\[ (2x-3y)^3 = 8x^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 27y^3. \]
Te operacje ukazują, jak zasady algebry pozwalają na uproszczenie wyrażeń poprzez przedstawienie ich w formie sum algebraicznych.
Wyrażenia do przekształcenia: (x+1/3 y)^3
Aby przekształcić wyrażenie \((x+\frac{1}{3} y)^3\) na sumę algebraiczną, można skorzystać z wzoru skróconego mnożenia dla sześcianu: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). W tej sytuacji mamy \(a=x\) oraz \(b=\frac{1}{3}y\).
Podstawiając do tego wzoru, uzyskujemy:
- pierwszym składnikiem jest \(x^3\),
- następnie obliczamy \(3 \cdot x^2 \cdot (\frac{1}{3})y = x^2(\frac{1}{3})y\),
- kolejnym krokiem jest \(3 \cdot x \cdot ((\frac{1}{3})y)^2 = (\frac{1}{9})xy^2\),
- ostatni składnik to \((\frac{1}{3}y)^3 = (\frac{1}{27})y^3\).
Po zsumowaniu wszystkich elementów, wyrażenie przyjmuje postać:
\[x^3 + x^2(\frac{1}{3})y + (\frac{1}{9})xy^2 + (\frac{1}{27})y^3.\]
Taki zapis nie tylko upraszcza dalsze operacje matematyczne, ale także ukazuje praktyczne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w algebrze.
